最近美国麻州的克雷（Ｃｌａｙ）数学研究所于２０００年５月２４日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。  
　 “千僖难题”之一：Ｐ（多项式算法）问题对ＮＰ（非多项式算法）问题　  

　　在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数１３，７１７，４２１可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（ＳｔｅｐｈｅｎＣｏｏｋ）于１９７１年陈述的。　　　 

　 “千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想  

　　二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。　　  

　 “千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想  

　　如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。　　  

　 “千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设  

　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。　　  

　 “千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口  

　　量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。　　  

　 “千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性  

　　起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。 

　 “千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想  

　　数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。  

由于科学的本质和它在历史上发展的过程，我们可以体会到科学乃是逐步深入、乃至无限深入的。由于科学是千变万化的，因之往往每去掉一层障碍就发现一些真理。在突破这层层障碍的时候，往往要用和已往迥然不同的新的独创的方法，才能获得成功；所以科学上的不断进展，是必须依靠独创精神的。也许如此说并不是过分的，独立思考是取得正确认识的必要方法，也是科学中克服困难的不二法门。很多例子可以说明：有些大学生在学校中功课学得很好，在教师指导下也是优等学生，但一旦离开教师参加工作，就停滞不前，遇到困难便束手无策。这种现象就是由于只跟教师学得了若干知识，而并没有获得独立思考的本领之故。

    独立思考和不接受前人的成就是毫无共同之点的。如果有人认为研究工作是独创性的，只要独立深思，不需要多读书、多接受前人的经验，也不需要依靠群众，这看法也是错误的。这样的看法会把人引入前人已走过的失败的道路，因而白费精力。以数学上的“三分角”为例吧。由于无知，有些人还硬想用圆规和直尺来三分任意角，这便是精力浪费。因为三分任意角是中世纪的著名难题。但今天已经完全解决了(即已证明用圆规、直尺三分任意角是不可能的)。如果我们不肯接受前人成果，仍把自己的知识停滞在中世纪的水准上，盲目地来进行这种无益的研究，当然就无怪乎要和中世纪的“三分角家”一样地浪费精力了！  

    独立思考和不需要导师也是并不相容的。优良的导师有无数成功的和失败的经验，特别是后者，往往是在书本上不易找到的——因为书本上仅仅记录了成功的创作，而很少记录下在发明之前无数次失败和无数次逐步推进的艰苦思索过程。而优良的导师正如航行的领航者一样，他可以告诉你哪儿有礁石，哪儿是航道。但是有一点必须指出，不独立思考，一味依赖导师也是要不得的。因为导师也有主观或思索不到之处。另一方面，没有导师也不必自馁。照我个人的经验，由于自修的关系，我对中学、大学程度的知识都进行了研究，当然花费了不少的时间和精力，但我并不后悔，因为在今天，在我的研究工作中所以能够自如地运用任何初等数学部分，都不能不归功于我早年的关于初等数学的研究功夫。同时，每一个初走上研究道路的同志还必须看到，由于我国科学工作的幼稚，能胜任的导师是不很多的。所以，我们必须坚强地树立起：有优良导师我们跟着他较快地爬过一段山路，再独立前进；如果没有，我们便应当随时随刻地准备着披荆斩棘地奋勇前进！

进行研究工作前的思想准备 
    最先应当提出的一点：就是不要轻视容易解决的问题和忽视点滴工作。科学之所以得有今日，并不是由于极少数的天才一步登天般地创造出来的，而是由于积累，长期的一点一滴地积累而得来的；所以，尽管是一点一滴，也不应该忽视。因为江河之形成正是由于点滴的聚汇且任何一个成功的科学工作，如果分析一下，都是由于不少步骤所组成的。由第一步看第二步，是容易的，较直觉的；由前一步看后一步，也莫不如此。但是，一连若干步贯穿起来，这便成为一件烦难而深入的工作了。所以如果任何人轻视在科学实践中的点滴工作，也便一定不会有较大的创造发明。

    轻视点滴工作的现象是相当普遍的，我自己也有过这样的痛苦教训。在了解容易了解的部门时，如果漫不经心，在应用时就不能得心应手.当然，我并不是鼓励人们停滞在搞容易解决的问题的阶段上.我的着眼点是从容易入手，而主要是逐步深入，一步不苟地进入科学内核之中.不轻视点滴工作，才能不畏惧困难.而不畏惧困难，才能开始研究工作.轻视困难和畏惧困难是孪生兄弟，往往出现在同一个人的身上.我看见过不少青年，眼高手低，浅尝辄止，忽忽十年，一无成就，这便是由于这一缺点.必须知道，只有不畏困难、辛勤劳动的科学家，才有可能攀登上旁人没有登上过的峰顶，才有可能获得值得称道的成果.所谓天才是不足恃的，必须认识，辛勤劳动才是科学研究成功的唯一的有力保证.天才的光荣称号是决不会属于懒汉的！

    在刚进入科学领域的时候，还必须在思想上准备遭受可能的挫折和失败.受了挫折和失败之后，不要悲观失望，而应当再接再厉，勇敢前进.哪一个科学家没有经历过失败的苦痛呢？甚至，如果总结起来，每一个科学家都不能不有这样的感觉：他所走过的失败的道路比他所走过的成功的道路并不少些.但科学文献仅刊载了成功的记录，因而显不出科学家的“胜败乃兵家之常”的情况.但我们必须注意一点，就是从失败中取得经验教训.如果我们向一个困难问题进攻，而遭到失败，那我们必须弄清楚究竟是什么东西使我们招致失败的.

    雄心是要有的，但更重要的是步步可行的计划，不要一开始就抱着“一鸣惊人”的思想.必须认识，在科学中出类拔萃的工作固然重要，但大量的平凡的工作也是推进科学进展的重要部分.为了不使篇幅加长，我这儿不再涉及学习哲学这个重要环节了.但是我简单地提一句：毛主席的《实践论》是对科学研究工作最有用的文章.任何刚从事科学研究工作的人都必须精读此文，这不但目前，并且将来，在科学研究的一生中都会得益非浅的.

(原载1955年3月1日“人民日报”)在写这篇文章之前，我想到很多。第一，我知道我对科学研究还是一个小学生，既少成绩，也还缺乏经验。第二，即使有一些经验，也是极片面的；因为我所熟悉的仅仅是科学中的一部分——数学中的极小部分，其中的经验对于其他部分能否应用，是大可怀疑的。且第三，我仍是一个年青的科学工作者，工作虽有一些，但就整个的一生来说，还仅仅是开始，新经验还不断地在被发现，旧办法也不断地在修正和否定；所以，很可能我今天所说的，在将来看来是极肤浅甚至于是错误的，当然更不要谈到它的完整性了。但我终于写了这篇文章，最主要的是由于我觉得：哪管就是些点滴的体会，对那些比我更年青的科学工作者来说，也许还有些参考作用。