梧桐树下凤凰琴
青草池塘问归程
幸福声声满蔷薇
柔风细雨踏青荇
寂寞如雪映珠帘
一蓑烟雨任平生
月光如水千帆过
坐看云起水如天
鹤渡烟雨风满江
歌飞水流十年间

天河流向东方去
彼岸烟花漫天舞
青稞酒香醉夕阳
香草火焰映天涯
月光低吟满素衣
烂漫百合衣襟香
明月窗纱紫云清
梦泽草色茶凝香
七月流华薰衣草
青草雨花琵琶声

一,  把1到100000000(一亿)写成一行，然后把所有的数字加起来，和是多少？ 如果嫌上面的太简单了，就做以下的。 把1到100000000(一亿)写成一行，平方后再把所有的数学加起来，和是多少？     二,  如何将一个正三角形分成四份，然后将它拼成一个正方形

一,  在实数范围内找关于连续函数f(x)+f(2x)+f(3x)=0的所有非零解

 

 

二,  三队足球队进行了循环赛。A胜B，B胜C，C胜A，知所有队的入球总数少于40(也许多了点，不过也有可能)。A队取得最多入球；B队的净胜球(得球减失球)最大；C队的得失球比(得球除以失球)最高。
当裁判还在商议冠军谁属时，你能算出各场比赛的战果吗？

 

三,  5*5方格排列的每个房间都有一盏灯,当开或关某一个房间的灯时都会使与之接壤(十字型)的4个房间的灯的状态改变.
若初始状态为所有灯都关闭
问1)最少需要多少次开关灯能使所有的灯都亮?

  2)具体步骤？
这类问题是否应用拓朴的方法解？

 

 

四, 有100(1白99黑，这99根黑线完全相同)根电线通在一到二十楼间,
给你一些相同的电阻和一个万用表,请你用最少数量的电阻，楼上楼下只跑一趟,把这些黑线分别标出两头。

 

 

五,  某数列的前六项为1，0，1，0，1，0，以后每项为前6项数字的和的个位数字
证明：
这数列后来不会有…0，1，0，1，0，1…的情况出现。

一,  ABC是一个三条边长都是整数（两两互质）的直角三角形且它的面积也是整数。 DEF是一个三条边长都是整数的等腰三角形， 上述两个三角形有相同的周长及面积。 求ABC及DEF的各条边长（并证明其的唯一性）。

	二,  1）将1---100这100个自然数分成n组，使任何一组中的任何其中两个数之和不是平方数，问n的最小值？ 2）若果将1---m个自然数分成2组，使每组中的其中任何两个数之和不是平方数，问m的最大值？   三,  求证： 如果一个正整数可以用三个有理数的平方和表示， 则它也可以用三个整数的平方和来表示。   四,  将1至10000这10000个连续自然数所有的0都擦掉。 问：余下所有的数的和是多少？ 说明： （类似于200、450这样的自然数擦掉0后就变成了2和45， 而类似于7078这样的自然数则摇身一变成了7和78两个数，10203则变成1，2，3三个数）。 五,  求证：过三角形各顶点及其重心的三条中线分此三角形成6个小三角形的重心在同一椭圆上。

最近美国麻州的克雷（Ｃｌａｙ）数学研究所于２０００年５月２４日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。  
　 “千僖难题”之一：Ｐ（多项式算法）问题对ＮＰ（非多项式算法）问题　  

　　在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数１３，７１７，４２１可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为３６０７乘上３８０３，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（ＳｔｅｐｈｅｎＣｏｏｋ）于１９７１年陈述的。　　　 

　 “千僖难题”之二： 霍奇(Hodge)猜想  

　　二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。　　  

　 “千僖难题”之三： 庞加莱(Poincare)猜想  

　　如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。　　  

　 “千僖难题”之四： 黎曼(Riemann)假设  

　　有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。　　  

　 “千僖难题”之五： 杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口  

　　量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。　　  

　 “千僖难题”之六： 纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性  

　　起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。 

　 “千僖难题”之七： 贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想  

　　数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。  

第01题  阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum     太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.    在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.
    在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.
    问这牛群是怎样组成的？ 
 第02题  德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac     一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.
   问这4块砝码碎片各重多少？
 第03题  牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows     a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；    a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；    a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；
求出从a到c"9个数量之间的关系？ 
 第04题  贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens 
    在下面除法例题中，被除数被除数除尽：
    * * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *
    * * * * * *
    * * * * * 7 *
    * * * * * * *
        * 7 * * * *
        * 7 * * * *
        * * * * * * *
        * * * * 7 * *
            * * * * * *
            * * * * * *
    用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？ 
 第05题  柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem     某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？ 
 第06题  伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters
    求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置. 
 第07题  欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division 
    可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？ 
 第08题  鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couples     n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？
 第09题  卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion 
    当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂. 
 第10题  柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem 
    求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值. 
 第11题  伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem 
    确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np. 
 第12题  欧拉数The Euler Number 
    求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值. 
 第13题  牛顿指数级数Newton's Exponential Series     将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数. 
 第14题  麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series 
    不用对数表，计算一个给定数的对数. 
 第15题  牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series 
    不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数. 
 第16题  正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series 
    在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列. 
    试利用屈折排列推导正割与正切的级数.
 第17题  格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series 
已知三条边，不用查表求三角形的各角. 
 第18题  德布封的针问题Buffon's Needle Problem     在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？
 第19题  费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem 
    每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示. 
 第20题  费马方程The Fermat Equation     求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数.
 第21题  费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem 
    证明两个立方数的和不可能为一立方数.
 第22题  二次互反律The Quadratic Reciprocity Law     （欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式    （p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2].
 第23题  高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra 
    每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根. 
 第24题  斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots
    求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数. 
 第25题  阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem 
    高于四次的方程一般不可能有代数解法. 
 第26题  赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem 
    系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零. 
 第27题  欧拉直线Euler's Straight Line
    在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.
 第28题  费尔巴哈圆The Feuerbach Circle
    三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上. 
 第29题  卡斯蒂朗问题Castillon's Problem 
    将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆. 
 第30题  马尔法蒂问题Malfatti's Problem 
    在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.
 第31题  蒙日问题Monge's Problem     画一个圆，使其与三已知圆正交. 
 第32题  阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.
    画一个与三个已知圆相切的圆.
 第33题  马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem. 
    证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出. 
 第34题  斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem 
    证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出. 
 第35题  德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem 
    画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边. 
 第36题  三等分一个角Trisection of an Angle     把一个角分成三个相等的角. 
 第37题  正十七边形The Regular Heptadecagon     画一正十七边形. 
 第38题  阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi 
    设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法. 
 第39题  富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral 
    找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形） 
 第40题  测量附题Annex to a Survey     利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.  
 第41题  阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem 
    在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形. 
 第42题  由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii 
    已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆. 
 第43题  在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram, 
    在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点. 
 第44题  由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents     已知抛物线的四条切线，作抛物线.
 第45题  由四点作抛物线A Parabola from Four Points.    过四个已知点作抛物线. 
 第46题  由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.
    已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线. 
 第47题  范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem 
    平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？ 
 第48题  卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.     一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？
 第49题  牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem. 
    确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹. 
 第50题  彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem 
    确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹. 
 第51题  作为包络的抛物线A Parabola as Envelope 
    从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0.
    求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.
 第52题  星形线The Astroid 
    直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.
 第53题  斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid 
    确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络. 
 第54题  一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral 
    一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？ 
 第55题  圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections     确定一个圆锥曲线的曲率. 
 第56题  阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola 
    确定包含在抛物线内的面积.
 第57题  推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola     确定双曲线被截得的部分所含的面积.
 第58题  求抛物线的长Rectification of a Parabola     确定抛物线弧的长度. 
 第59题  笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theorem of Homologous Triangles) 
    如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.
    反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点. 
 第60题  斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction 
    由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素. 
 第61题  帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem 
    求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.
 第62题  布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem 
    求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.
 第63题  笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem 
    一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶.
    *一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）. 
第64题  由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements 
    求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的.
 第65题  一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line 
    一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点. 
 第66题  一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point 
    已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线. 
 第67题  斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planes 
    n个平面最多可将整个空间分割成多少份？
 第68题  欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem     以六条棱表示四面体的体积.
 第69题  偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines 
    计算两条已知偏斜直线之间的角和距离. 
 第70题  四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron 
    确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.
 第71题  五种正则体The Five Regular Solids     将一个球面分成全等的球面正多边形.
 第72题  正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral 
    证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.
 第73题  波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem     一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.
 第74题  高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry 
    正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零.
 第75题  希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection 
    试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.
 第76题  麦卡托投影The Mercator Projection 
    画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的.
 第77题  航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome     确定地球表面两点间斜驶线的经度. 
 第78题  海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea 
    利用天文经线推算法确定船在海上的位置. 
 第79题  高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem 
    根据已知两星球的高度以确定时间及位置. 
 第80题  高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem 
    从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的高度. 
 第81题  刻卜勒方程The Kepler Equation     根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角.
 第82题  星落Star Setting     对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角. 
 第83题  日晷问题The Problem of the Sundial     制作一个日晷. 
 第84题  日影曲线The Shadow Curve     当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线. 
 第85题  日食和月食Solar and Lunar Eclipses     如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.
 第86题  恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods 
    确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期. 
 第87题  行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets 
    行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？
 第88题  兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem 
    借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.
 第89题  与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number 
    如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？
 第90题  法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem 
    在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形. 
 第91题  费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli 
    试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小. 
 第92题  逆风变换航向Tacking Under a Headwind     帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？ 
 第93题  蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)     试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预定的容积，而其表面积为最小. 
 第94题  雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem 
    在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）
 第95题  金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus     在什么位置金星有最大亮度？
 第96题  地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit 
    慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？
 第97题  最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight 
    在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？ 
 第98题  斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem 
    在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面积？ 
 第99题  斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem 
    在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积.
    反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长.
 第100题  斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem 
    在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积.
    在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面.

由于科学的本质和它在历史上发展的过程，我们可以体会到科学乃是逐步深入、乃至无限深入的。由于科学是千变万化的，因之往往每去掉一层障碍就发现一些真理。在突破这层层障碍的时候，往往要用和已往迥然不同的新的独创的方法，才能获得成功；所以科学上的不断进展，是必须依靠独创精神的。也许如此说并不是过分的，独立思考是取得正确认识的必要方法，也是科学中克服困难的不二法门。很多例子可以说明：有些大学生在学校中功课学得很好，在教师指导下也是优等学生，但一旦离开教师参加工作，就停滞不前，遇到困难便束手无策。这种现象就是由于只跟教师学得了若干知识，而并没有获得独立思考的本领之故。

    独立思考和不接受前人的成就是毫无共同之点的。如果有人认为研究工作是独创性的，只要独立深思，不需要多读书、多接受前人的经验，也不需要依靠群众，这看法也是错误的。这样的看法会把人引入前人已走过的失败的道路，因而白费精力。以数学上的“三分角”为例吧。由于无知，有些人还硬想用圆规和直尺来三分任意角，这便是精力浪费。因为三分任意角是中世纪的著名难题。但今天已经完全解决了(即已证明用圆规、直尺三分任意角是不可能的)。如果我们不肯接受前人成果，仍把自己的知识停滞在中世纪的水准上，盲目地来进行这种无益的研究，当然就无怪乎要和中世纪的“三分角家”一样地浪费精力了！  

    独立思考和不需要导师也是并不相容的。优良的导师有无数成功的和失败的经验，特别是后者，往往是在书本上不易找到的——因为书本上仅仅记录了成功的创作，而很少记录下在发明之前无数次失败和无数次逐步推进的艰苦思索过程。而优良的导师正如航行的领航者一样，他可以告诉你哪儿有礁石，哪儿是航道。但是有一点必须指出，不独立思考，一味依赖导师也是要不得的。因为导师也有主观或思索不到之处。另一方面，没有导师也不必自馁。照我个人的经验，由于自修的关系，我对中学、大学程度的知识都进行了研究，当然花费了不少的时间和精力，但我并不后悔，因为在今天，在我的研究工作中所以能够自如地运用任何初等数学部分，都不能不归功于我早年的关于初等数学的研究功夫。同时，每一个初走上研究道路的同志还必须看到，由于我国科学工作的幼稚，能胜任的导师是不很多的。所以，我们必须坚强地树立起：有优良导师我们跟着他较快地爬过一段山路，再独立前进；如果没有，我们便应当随时随刻地准备着披荆斩棘地奋勇前进！

进行研究工作前的思想准备 
    最先应当提出的一点：就是不要轻视容易解决的问题和忽视点滴工作。科学之所以得有今日，并不是由于极少数的天才一步登天般地创造出来的，而是由于积累，长期的一点一滴地积累而得来的；所以，尽管是一点一滴，也不应该忽视。因为江河之形成正是由于点滴的聚汇且任何一个成功的科学工作，如果分析一下，都是由于不少步骤所组成的。由第一步看第二步，是容易的，较直觉的；由前一步看后一步，也莫不如此。但是，一连若干步贯穿起来，这便成为一件烦难而深入的工作了。所以如果任何人轻视在科学实践中的点滴工作，也便一定不会有较大的创造发明。

    轻视点滴工作的现象是相当普遍的，我自己也有过这样的痛苦教训。在了解容易了解的部门时，如果漫不经心，在应用时就不能得心应手.当然，我并不是鼓励人们停滞在搞容易解决的问题的阶段上.我的着眼点是从容易入手，而主要是逐步深入，一步不苟地进入科学内核之中.不轻视点滴工作，才能不畏惧困难.而不畏惧困难，才能开始研究工作.轻视困难和畏惧困难是孪生兄弟，往往出现在同一个人的身上.我看见过不少青年，眼高手低，浅尝辄止，忽忽十年，一无成就，这便是由于这一缺点.必须知道，只有不畏困难、辛勤劳动的科学家，才有可能攀登上旁人没有登上过的峰顶，才有可能获得值得称道的成果.所谓天才是不足恃的，必须认识，辛勤劳动才是科学研究成功的唯一的有力保证.天才的光荣称号是决不会属于懒汉的！

    在刚进入科学领域的时候，还必须在思想上准备遭受可能的挫折和失败.受了挫折和失败之后，不要悲观失望，而应当再接再厉，勇敢前进.哪一个科学家没有经历过失败的苦痛呢？甚至，如果总结起来，每一个科学家都不能不有这样的感觉：他所走过的失败的道路比他所走过的成功的道路并不少些.但科学文献仅刊载了成功的记录，因而显不出科学家的“胜败乃兵家之常”的情况.但我们必须注意一点，就是从失败中取得经验教训.如果我们向一个困难问题进攻，而遭到失败，那我们必须弄清楚究竟是什么东西使我们招致失败的.

    雄心是要有的，但更重要的是步步可行的计划，不要一开始就抱着“一鸣惊人”的思想.必须认识，在科学中出类拔萃的工作固然重要，但大量的平凡的工作也是推进科学进展的重要部分.为了不使篇幅加长，我这儿不再涉及学习哲学这个重要环节了.但是我简单地提一句：毛主席的《实践论》是对科学研究工作最有用的文章.任何刚从事科学研究工作的人都必须精读此文，这不但目前，并且将来，在科学研究的一生中都会得益非浅的.

(原载1955年3月1日“人民日报”)在写这篇文章之前，我想到很多。第一，我知道我对科学研究还是一个小学生，既少成绩，也还缺乏经验。第二，即使有一些经验，也是极片面的；因为我所熟悉的仅仅是科学中的一部分——数学中的极小部分，其中的经验对于其他部分能否应用，是大可怀疑的。且第三，我仍是一个年青的科学工作者，工作虽有一些，但就整个的一生来说，还仅仅是开始，新经验还不断地在被发现，旧办法也不断地在修正和否定；所以，很可能我今天所说的，在将来看来是极肤浅甚至于是错误的，当然更不要谈到它的完整性了。但我终于写了这篇文章，最主要的是由于我觉得：哪管就是些点滴的体会，对那些比我更年青的科学工作者来说，也许还有些参考作用。